Le jeu de fléchettes

D'après bac S, Pondichéry, 2011.

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups. On considère les événements :

• \(\text{L}_0\) : « le lancer apporte \(0\) point »
• \(\text{L}_3\) : « le lancer apporte \(3\) points »
  
• \(\text{L}_5\) : « le lancer apporte \(5\) points »
  

On connaît les probabilités des trois événements : \(P(\text{L}_0) = \dfrac{1}{2}\) ; \(P(\text{L}_3) = \dfrac{1}{3}\) ; \(P(\text{L}_5) = \dfrac{1}{6}\).

1. La première partie du jeu consiste à lancer deux fléchettes.
    a. Construire un arbre pondérée de probabilités.
    b. Déterminer la probabilité que le joueur gagne \(3\) points au premier lancer et \(5\) points au deuxième lancer.
    c. Déterminer la probabilité que le joueur gagne \(8\) points au total.
2. La deuxième partie du jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s’il obtient un total (pour les \(3\) lancers) supérieur ou égal à \(8\) points. Si, au bout de \(2\) lancers, il a un total supérieur ou égal à \(8\) points, il ne lance pas la troisième fléchette. On considère les événements supplémentaires suivants :

• \(\text{G}_2\) : « le joueur gagne la partie en \(2\) lancers »
• \(\text{G}_3\) : « le joueur gagne la partie en \(3\) lancers »
• \(\text{X}\) : « le joueur perd la partie »
  

    a. Montrer que \(P(\text{G}_2) = \dfrac{5}{36}\). 
On admettra dans la suite que \(P(\text{G}_3) = \dfrac{7}{36}\). 
    b. En déduire \(P(\text{X})\).